進位制轉換指南：二進位、十六進位、八進位完整解析

如果你曾經盯著像 #1A2B3C 這樣的十六進位色碼，或是像 chmod 755 這樣的 Unix 權限設定，好奇這些數字到底從何而來，那你並不孤單。進位制是大多數開發者每天都在使用卻鮮少深思的基礎概念——直到某天真的需要在不同進位之間轉換時才會意識到它的重要性。

讓我們來解決這個問題。本指南將帶你深入了解程式設計中重要的數字系統、如何在它們之間進行轉換，以及各個進位制在實務中的應用場景。

「進位」到底是什麼意思？

我們之所以使用十進位（base-10）計數，是因為我們有十根手指。每個數位代表 10 的一個冪次：

  4   2   7
  |   |   |
  |   |   └── 7 × 10⁰ = 7
  |   └────── 2 × 10¹ = 20
  └────────── 4 × 10² = 400
                         ───
                Total = 427

這就是位值記數法。「進位」（也稱為基數，radix）告訴你這個系統中有多少個不同的數字符號，以及每個位置的乘數。十進位有 0–9 這些數字，二進位有 0–1，十六進位則有 0–9 和 A–F。

這個概念在所有進位制中完全相同——唯一不同的是可用符號的數量和每個位置的乘數。

二進位（Base-2）：硬體的語言

為什麼電腦使用二進位

電腦靠電晶體運作，而電晶體有兩個穩定的狀態：開和關。這完美地對應到 1 和 0。理論上你可以建造一台三進位電腦，但要區分三種電壓位準比區分兩種更難且更容易出錯。二進位之所以勝出，是因為它既簡單又可靠。

如何讀取二進位數字

二進位的運作方式與十進位相同，只不過每個位置代表的是 2 的冪次：

  1   0   1   1   0   1
  |   |   |   |   |   |
  |   |   |   |   |   └── 1 × 2⁰ =  1
  |   |   |   |   └────── 0 × 2¹ =  0
  |   |   |   └────────── 1 × 2² =  4
  |   |   └────────────── 1 × 2³ =  8
  |   └────────────────── 0 × 2⁴ =  0
  └────────────────────── 1 × 2⁵ = 32
                                    ──
                            Total = 45

所以二進位的 101101 等於十進位的 45。你從右往左讀，每個位值翻倍：1、2、4、8、16、32、64、128⋯⋯

位元、半位元組與位元組

• 位元（Bit）：一個二進位數字（0 或 1）
• 半位元組（Nibble）：4 個位元（代表一個十六進位數字，值為 0–15）
• 位元組（Byte）：8 個位元（值為 0–255）
• 千位元組（Kilobyte）：1,024 個位元組（2¹⁰）

一個位元組可以表示 256 種不同的值，這就是為什麼 ASCII 字元可以用一個位元組表示，而 RGB 色彩通道的範圍是 0 到 255。

二進位算術基礎

二進位的加法規則與十進位相同，只不過在 2 時進位，而非 10：

    1 0 1 1   (11 in decimal)
  + 0 1 1 0   ( 6 in decimal)
  ─────────
  1 0 0 0 1   (17 in decimal)

當二進位中 1 + 1 = 10 時（就像十進位中 9 + 1 = 10），你寫下 0 然後進位 1。

八進位（Base-8）：歷史遺留的系統

簡短的歷史回顧

八進位在 1960 至 70 年代相當流行，當時的機器如 PDP-8 使用 12 位元字組——恰好可以整除為四組三位元。每個八進位數字恰好對應三個二進位數字，因此成為了方便的簡寫方式。

至今仍會看到八進位的地方

現今最常見的用途是 Unix 檔案權限。當你輸入 chmod 755 script.sh 時，每個數字都是一個八進位數字，分別代表讀取（4）、寫入（2）和執行（1）權限：

7 = 4 + 2 + 1 = rwx  (owner: read, write, execute)
5 = 4 + 0 + 1 = r-x  (group: read, execute)
5 = 4 + 0 + 1 = r-x  (others: read, execute)

程式語言中的八進位數字使用 0o 前綴（或者在 C 語言中僅用前導 0，這已經造成了不少 bug）：

const permissions = 0o755;  // 493 in decimal
console.log(permissions.toString(8));  // "755"

十六進位（Base-16）：開發者的最愛

為什麼十六進位會存在

十六進位解決了一個實際問題：二進位數字很快就會變得很長。十進位的 255 在二進位中是 11111111——八個數字。而用十六進位表示只需要 FF。每個十六進位數字恰好對應四個二進位數字（一個半位元組），讓轉換變得直觀，數字也更加精簡。

十六進位使用 0–9 加上字母 A–F：

十六進位在實際應用中的身影

網頁色彩是十六進位最常見的應用。#FF5733 的拆解如下：

#FF5733
 ││││││
 ││││└┘── Blue:  0x33 = 51
 ││└┘──── Green: 0x57 = 87
 └┘────── Red:   0xFF = 255

記憶體位址在除錯器中以十六進位顯示：0x7FFF5FBFFA10 比它的十進位等值 140,734,799,804,944 更容易閱讀。

MAC 位址使用以冒號分隔的十六進位配對：A4:83:E7:2B:00:1F。

CSS 中的色彩：rgba(255, 87, 51, 1.0) 和 #FF5733 代表同一個顏色——十六進位只是更加簡潔。

進位制之間的轉換

十進位轉二進位

反覆除以 2 並收集餘數，從下往上讀取：

45 ÷ 2 = 22 remainder 1  ↑
22 ÷ 2 = 11 remainder 0  │
11 ÷ 2 =  5 remainder 1  │  Read upward:
 5 ÷ 2 =  2 remainder 1  │  101101
 2 ÷ 2 =  1 remainder 0  │
 1 ÷ 2 =  0 remainder 1  │

結果：十進位的 45 = 二進位的 101101。

十進位轉十六進位

方法相同，但改為除以 16：

427 ÷ 16 = 26 remainder 11 (B)  ↑
 26 ÷ 16 =  1 remainder 10 (A)  │  Read upward: 1AB
  1 ÷ 16 =  0 remainder  1      │

結果：十進位的 427 = 十六進位的 1AB。

二進位轉十六進位（最簡單的轉換）

將二進位數字從右往左每四位分為一組，然後分別轉換每組：

Binary:  10 1101
Padded:  0010 1101
Groups:   2    D

Result: 0x2D

驗證：0x2D = 2×16 + 13 = 45 ✓

這就是為什麼十六進位和二進位是天然的搭檔——轉換過程完全是機械式的。

十六進位轉二進位

反向操作。將每個十六進位數字展開為四位二進位數字：

Hex:    F    A    3
Binary: 1111 1010 0011

Result: 111110100011

程式語言中的進位表示法

每一種主流語言都有用不同進位撰寫數字的語法：

// JavaScript
const binary  = 0b101101;   // 45
const octal   = 0o55;       // 45
const hex     = 0x2D;       // 45
const decimal = 45;          // 45

// Convert to string in any base
(45).toString(2);   // "101101"
(45).toString(8);   // "55"
(45).toString(16);  // "2d"

// Parse from string
parseInt("101101", 2);   // 45
parseInt("55", 8);       // 45
parseInt("2D", 16);      // 45

# Python
binary  = 0b101101   # 45
octal   = 0o55       # 45
hexval  = 0x2D       # 45

# Convert to string
bin(45)    # '0b101101'
oct(45)    # '0o55'
hex(45)    # '0x2d'

# Parse from string
int("101101", 2)   # 45
int("55", 8)       # 45
int("2D", 16)      # 45

// C / C++
int binary  = 0b101101;   // 45 (C23 / GCC extension)
int octal   = 055;        // 45 (leading zero = octal!)
int hex     = 0x2D;       // 45

注意 C 語言的陷阱：前導 0 代表八進位。寫 int x = 010; 得到的是 8，而不是 10。這已經讓無數程式設計師栽了跟頭。

實際應用場景

位元運算與旗標

十六進位是位元遮罩的標準表示法，因為每個數字恰好涵蓋四個旗標：

const READ    = 0x01;  // 0001
const WRITE   = 0x02;  // 0010
const EXECUTE = 0x04;  // 0100
const ADMIN   = 0x08;  // 1000

let permissions = READ | WRITE;  // 0x03 = 0011
if (permissions & EXECUTE) {
  // check if execute bit is set
}

除錯與記憶體檢查

當你在位址 0xDEADBEEF 看到記憶體區段錯誤，或使用 0xCAFEBABE 初始化記憶體時，這些都是特意選擇的十六進位常數，因為它們在記憶體傾印中特別容易辨識。Java 的 class 檔案就以魔術數字 0xCAFEBABE 開頭——沒錯，當初取這個名字的人確實玩得很開心。

網路協定

IPv6 位址使用十六進位表示法：2001:0db8:85a3:0000:0000:8a2e:0370:7334。MAC 位址、USB 供應商 ID 和藍牙 UUID 都使用十六進位表示，因為它讓二進位資料既精簡又易讀。

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它在以下情境中特別實用：

• 將十六進位記憶體傾印轉換為十進位以便除錯
• 以二進位／八進位計算 Unix 權限
• 在十六進位和 RGB 值之間驗證色碼
• 在非二的冪次的進位之間進行轉換

相關資源

• Base64 編碼解析 — Base64 使用不同的方法（將 6 位元群組對應到 64 個字元）將二進位編碼為文字
• 雜湊演算法比較 — 雜湊輸出通常以十六進位顯示
• 進位轉換器 — 在瀏覽器中即時轉換任意進位

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