Руководство по конвертации систем счисления: двоичная, шестнадцатеричная, восьмеричная

Если вы когда-нибудь смотрели на шестнадцатеричный код цвета вроде #1A2B3C или на Unix-права доступа chmod 755 и задавались вопросом, откуда берутся эти числа, — вы не одиноки. Системы счисления — одна из тех фундаментальных концепций, которые большинство разработчиков используют каждый день, не задумываясь, — пока не наступает момент, когда действительно нужно переводить числа из одной системы в другую.

Давайте разберёмся. В этом руководстве мы рассмотрим системы счисления, которые важны в программировании, научимся переводить числа между ними и узнаем, где каждая из них применяется на практике.

Что на самом деле означает «основание»?

Мы считаем в десятичной системе (основание 10), потому что у нас десять пальцев. Каждая позиция цифры представляет степень числа 10:

  4   2   7
  |   |   |
  |   |   └── 7 × 10⁰ = 7
  |   └────── 2 × 10¹ = 20
  └────────── 4 × 10² = 400
                         ───
                Итого = 427

Это позиционная запись. «Основание» (также называемое «базис» или «radix») указывает, сколько уникальных цифр существует в системе и на что умножается каждая позиция. В десятичной системе — цифры 0–9. В двоичной — 0–1. В шестнадцатеричной — 0–9 и A–F.

Принцип одинаков для всех систем счисления — меняется только количество доступных символов и множитель для каждой позиции.

Двоичная система (основание 2): язык аппаратного обеспечения

Почему компьютеры используют двоичную систему

Компьютеры работают на транзисторах, а у транзисторов есть два надёжных состояния: включён и выключен. Это идеально соответствует 1 и 0. Теоретически можно построить компьютер на основании 3, но различать три уровня напряжения сложнее и менее надёжно, чем различать два. Двоичная система побеждает благодаря своей простоте и устойчивости.

Чтение двоичных чисел

Двоичная система работает так же, как десятичная, но каждая позиция представляет степень числа 2:

  1   0   1   1   0   1
  |   |   |   |   |   |
  |   |   |   |   |   └── 1 × 2⁰ =  1
  |   |   |   |   └────── 0 × 2¹ =  0
  |   |   |   └────────── 1 × 2² =  4
  |   |   └────────────── 1 × 2³ =  8
  |   └────────────────── 0 × 2⁴ =  0
  └────────────────────── 1 × 2⁵ = 32
                                    ──
                            Итого = 45

Таким образом, 101101 в двоичной системе равно 45 в десятичной. Читайте справа налево, удваивая значение позиции каждый раз: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...

Биты, байты и не только

• Бит: одна двоичная цифра (0 или 1)
• Ниббл (полубайт): 4 бита (представляет одну шестнадцатеричную цифру, значения 0–15)
• Байт: 8 бит (значения 0–255)
• Килобайт: 1 024 байта (2¹⁰)

Один байт может представлять 256 различных значений, поэтому символы ASCII помещаются в один байт, а каналы цвета RGB принимают значения от 0 до 255.

Основы двоичной арифметики

Сложение в двоичной системе подчиняется тем же правилам, что и в десятичной, но перенос происходит при 2, а не при 10:

    1 0 1 1   (11 в десятичной)
  + 0 1 1 0   ( 6 в десятичной)
  ─────────
  1 0 0 0 1   (17 в десятичной)

Когда 1 + 1 = 10 в двоичной системе (точно так же как 9 + 1 = 10 в десятичной), вы записываете 0 и переносите 1.

Восьмеричная система (основание 8): система из прошлого

Краткая история

Восьмеричная система была популярна в 1960-х и 70-х годах на машинах вроде PDP-8, которые использовали 12-битные слова — удобно делящиеся на четыре группы по три бита. Каждая восьмеричная цифра соответствует ровно трём двоичным цифрам, что делает её удобным сокращением.

Где восьмеричная система используется сегодня

Самое распространённое место сегодня — права доступа в Unix. Когда вы вводите chmod 755 script.sh, каждая цифра — это восьмеричное число, представляющее права на чтение (4), запись (2) и выполнение (1):

7 = 4 + 2 + 1 = rwx  (владелец: чтение, запись, выполнение)
5 = 4 + 0 + 1 = r-x  (группа: чтение, выполнение)
5 = 4 + 0 + 1 = r-x  (остальные: чтение, выполнение)

Восьмеричные числа в программировании записываются с префиксом 0o (или просто с ведущим 0 в языке C, что стало причиной множества ошибок):

const permissions = 0o755;  // 493 in decimal
console.log(permissions.toString(8));  // "755"

Шестнадцатеричная система (основание 16): любимая система разработчиков

Зачем нужна шестнадцатеричная система

Шестнадцатеричная система решает практическую проблему: двоичные числа быстро становятся длинными. Десятичное число 255 в двоичной записи — это 11111111, целых восемь цифр. В шестнадцатеричной системе это всего лишь FF. Каждая шестнадцатеричная цифра соответствует ровно четырём двоичным цифрам (нибблу), что делает конвертацию тривиальной, а числа — компактными.

Шестнадцатеричная система использует цифры 0–9 и буквы A–F:

Шестнадцатеричная система в реальной жизни

Веб-цвета — самое наглядное применение шестнадцатеричной системы. #FF5733 разбирается так:

#FF5733
 ││││││
 ││││└┘── Blue:  0x33 = 51
 ││└┘──── Green: 0x57 = 87
 └┘────── Red:   0xFF = 255

Адреса памяти в отладчиках отображаются в шестнадцатеричном виде: 0x7FFF5FBFFA10 читается гораздо проще, чем его десятичный эквивалент 140 734 799 804 944.

MAC-адреса используют шестнадцатеричные пары, разделённые двоеточиями: A4:83:E7:2B:00:1F.

Цвет в CSS: rgba(255, 87, 51, 1.0) и #FF5733 представляют один и тот же цвет — шестнадцатеричная запись просто компактнее.

Конвертация между системами счисления

Из десятичной в двоичную

Последовательно делите на 2 и собирайте остатки, читая их снизу вверх:

45 ÷ 2 = 22 remainder 1  ↑
22 ÷ 2 = 11 remainder 0  │
11 ÷ 2 =  5 remainder 1  │  Read upward:
 5 ÷ 2 =  2 remainder 1  │  101101
 2 ÷ 2 =  1 remainder 0  │
 1 ÷ 2 =  0 remainder 1  │

Результат: 45 в десятичной = 101101 в двоичной системе.

Из десятичной в шестнадцатеричную

Тот же подход, но деление на 16:

427 ÷ 16 = 26 remainder 11 (B)  ↑
 26 ÷ 16 =  1 remainder 10 (A)  │  Read upward: 1AB
  1 ÷ 16 =  0 remainder  1      │

Результат: 427 в десятичной = 1AB в шестнадцатеричной системе.

Из двоичной в шестнадцатеричную (самый простой способ)

Сгруппируйте двоичные цифры по четыре (справа налево) и переведите каждую группу:

Binary:  10 1101
Padded:  0010 1101
Groups:   2    D

Result: 0x2D

Проверка: 0x2D = 2×16 + 13 = 45 ✓

Из шестнадцатеричной в двоичную

Обратный процесс. Разверните каждую шестнадцатеричную цифру в четыре двоичных:

Hex:    F    A    3
Binary: 1111 1010 0011

Result: 111110100011

Запись чисел в разных системах счисления в языках программирования

Все основные языки имеют синтаксис для записи чисел в различных системах счисления:

// JavaScript
const binary  = 0b101101;   // 45
const octal   = 0o55;       // 45
const hex     = 0x2D;       // 45
const decimal = 45;          // 45

(45).toString(2);   // "101101"
(45).toString(8);   // "55"
(45).toString(16);  // "2d"

parseInt("101101", 2);   // 45
parseInt("55", 8);       // 45
parseInt("2D", 16);      // 45

# Python
binary  = 0b101101   # 45
octal   = 0o55       # 45
hexval  = 0x2D       # 45

bin(45)    # '0b101101'
oct(45)    # '0o55'
hex(45)    # '0x2d'

int("101101", 2)   # 45
int("55", 8)       # 45
int("2D", 16)      # 45

// C / C++
int binary  = 0b101101;   // 45 (C23 / GCC extension)
int octal   = 055;        // 45 (leading zero = octal!)
int hex     = 0x2D;       // 45

Обратите внимание на подвох в C: ведущий 0 означает восьмеричную систему. Запись int x = 010; даёт вам 8, а не 10.

Практические примеры использования

Побитовые операции и флаги

const READ    = 0x01;
const WRITE   = 0x02;
const EXECUTE = 0x04;
const ADMIN   = 0x08;

let permissions = READ | WRITE;
if (permissions & EXECUTE) { }

Отладка и инспекция памяти

Когда вы видите ошибку сегментации по адресу 0xDEADBEEF или инициализацию памяти значением 0xCAFEBABE, это шестнадцатеричные константы, выбранные специально потому, что их легко заметить в дампах памяти. Файлы классов Java начинаются с магического числа 0xCAFEBABE.

Сетевые протоколы

IPv6-адреса используют шестнадцатеричную запись: 2001:0db8:85a3:0000:0000:8a2e:0370:7334. MAC-адреса, идентификаторы USB-устройств и UUID Bluetooth — все они используют шестнадцатеричную систему.

Попробуйте сами

Забудьте о ручных вычислениях. Наш конвертер систем счисления мгновенно выполняет преобразования между любыми основаниями. Всё работает прямо в вашем браузере — ничего не отправляется на сервер.

Это особенно полезно, когда нужно:

• Отлаживать шестнадцатеричные дампы памяти, переводя их в десятичную систему
• Вычислять права доступа Unix в двоичной/восьмеричной системе
• Проверять коды цветов, переключаясь между шестнадцатеричной системой и RGB
• Конвертировать между системами счисления, основания которых не являются степенями двойки

Дополнительные ресурсы

• Объяснение кодирования Base64 — Base64 использует другой подход (6-битные группы, сопоставленные с 64 символами) для представления двоичных данных в виде текста
• Сравнение алгоритмов хеширования — результаты хеширования обычно отображаются в шестнадцатеричной системе
• Конвертер систем счисления — мгновенная конвертация между любыми системами счисления прямо в браузере

---

🛠️ Попробуйте прямо сейчас: Конвертер систем счисления — переводите числа между двоичной, восьмеричной, десятичной, шестнадцатеричной и любой другой системой с основанием до 36. Полностью на стороне клиента, абсолютно бесплатно.